+
+
case04 — 日地月三体系统 稳定轨道版本
+
太阳、地球、月球三体系统，采用真实比例的质量和万有引力模拟，地球和月球维持稳定椭圆轨道。
+
+
+ Python 引擎
+ 万有引力
+ 3 粒子 | leapfrog 算法 | 稳定轨道
+
+
+
一、物理系统概览
+
+
+
本案例模拟真实的日-地-月三体系统：
+
+ - 太阳：位于原点，质量为 $M_\odot$，固定不动（fix_x=fix_y=fix_z=1）
+ - 地球：绕太阳公转，质量为 $M_\oplus$，近日点出发
+ - 月球：绕地球公转（同时跟随地球绕太阳），质量为 $M_\text{moon}$
+
+
原子间万有引力由 gravity_strength 缩放控制，$F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$。
+
+
+
二、天体真实参数
+
+
2.1 质量
+
+
+ | 天体 | 质量 / kg | 与地球质量之比 |
|---|
+ | 太阳 | $1.989 \times 10^{30}$ | $333\,000$ |
+ | 地球 | $5.972 \times 10^{24}$ | $1$ |
+ | 月球 | $7.35 \times 10^{22}$ | $0.0123 \;(1/81.3)$ |
+
+
+
+ 质量比：$M_\odot : M_\oplus : M_\text{moon} \approx 27\,100\,000 : 81.3 : 1$
+
+
+
2.2 轨道参数
+
+
+ | 轨道 | 半长轴 $a$ | 偏心率 $e$ | 半短轴 $b$ | 周期 |
|---|
+ | 地球绕太阳 | $1.4960 \times 10^8$ km (1 AU) | $0.0167$ | $1.4958 \times 10^8$ km | 365.25 天 |
+ | 月球绕地球 | $3.844 \times 10^5$ km | $0.0549$ | $3.838 \times 10^5$ km | 27.32 天 |
+
+
+
+ 比例：$R_{\text{日地}} : R_{\text{地月}} \approx 389 : 1$
+ 地月距离约为日地距离的 $1/389$。
+
+
+
三、轨道力学
+
+
3.1 偏心率定义
+
+
+
偏心率 $e$ 描述椭圆轨道偏离正圆的程度：
+
+ $$e = \frac{c}{a}$$
+
+
其中 $c = ea$ 为偏心距（焦点到椭圆中心的距离），$a$ 为半长轴。
+
+
+
+ | $e$ 值 | 轨道形状 | 说明 |
|---|
+ | $e = 0$ | 正圆形 | 速度恒定，距离恒定 |
+ | $0 < e < 1$ | 椭圆 | 近日点速度最大，远日点速度最小 |
+ | $e = 1$ | 抛物线 | 逃逸轨道，速度恰好达到逃逸速度 |
+ | $e > 1$ | 双曲线 | 飞越轨道，速度超过逃逸速度 |
+
+
+
3.2 半长轴与半短轴的关系
+
+
+
+ $$b = a\sqrt{1 - e^2}$$
+
+
当 $e \ll 1$ 时，$b \approx a\left(1 - \dfrac{e^2}{2}\right)$，椭圆度非常微小。
+
+
+
3.3 近日点与远日点
+
+
+
近日点（距太阳最近）和远日点（距太阳最远）的距离分别为：
+
+ $$r_{\text{peri}} = a(1 - e), \qquad r_{\text{ap}} = a(1 + e)$$
+
+
在近日点轨道速度最大，在远日点轨道速度最小：
+
+ $$v_{\text{peri}} = \sqrt{\frac{GM(1+e)}{a(1-e)}}, \qquad
+ v_{\text{ap}} = \sqrt{\frac{GM(1-e)}{a(1+e)}}$$
+
+
+
+
3.4 开普勒三大定律
+
+
+ - 椭圆定律：行星轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
+ - 面积定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
+ - 周期定律：公转周期的平方与半长轴的立方成正比：$T^2 \propto a^3$。
+
+
+
+ 验证：在本模拟中，你可以通过轨迹图观察面积定律是否成立——地球在近日点移动更快，远日点移动更慢。
+
+
+
四、模拟参数
+
+
4.1 缩放说明
+
+
真实尺度无法直接用于模拟（日地距离 1.5 亿 km），因此采用缩放参数。当前 case04 的配置为教学演示而简化：
+
+
+ | 参数 | 值 | 说明 |
|---|
+ gravity_strength | 100.0 | 万有引力强度（已缩放） |
+ box_a | 20.0 | 盒子半边长 |
+ method | leapfrog | 蛙跳法（辛积分器，能量守恒） |
+ T_total | 10.0 s | 总模拟时间 |
+ NSTEP | 2 | 抽帧间隔（密采帧） |
+
+
+
4.2 初始构型
+
+
+ | 天体 | 质量 | 位置 $(x,y,z)$ | 速度 $(v_x,v_y,v_z)$ | 固定约束 |
|---|
+ | 太阳 | 1 | $(0,0,0)$ | $(0,0,0)$ | 全部固定 |
+ | 地球 | 1 | $(4,0,0)$ | $(0,0,4)$ | 无 |
+ | 月球 | 0.1 | $(5,0,0)$ | $(0,0,6)$ | 无 |
+
+
+
地球在 $z$ 方向获得初速度，产生绕太阳的轨道运动；月球在地球基础上获得额外的 $z$ 方向速度，形成绕地球的轨道。
+
+
五、使用方法
+
+
+
+ # 进入 case04 目录并运行
+ cd examples/case04
+ python run_dynamics.py
+ # 仅输出轨迹图，跳过动画
+ python run_dynamics.py --no-plot
+
+
配置文件：input/input.txt（物理参数）、input/coord.txt（初始位置/速度）。
+
+
+
六、与 case03 的对比
+
+
+ | case03（失败案例） | case04（成功案例） |
|---|
+ | 轨道状态 | 轨道发散或碰撞 | 稳定椭圆轨道 |
+ | 关键差异 | 初始速度或质量比不恰当 | 合理的初值和参数 |
+ | 教学意义 | 展示参数选择的重要性 | 展示正确的三体运动 |
+
+
+
+ 教学建议：先运行 case03 观察失稳，再运行 case04 对比稳定轨道，理解初始条件对数值模拟的关键影响。
+
+
+
七、已知局限
+
+
+ - 缩放后的质量比与真实太阳系有较大差距（真实太阳比地球重 33 万倍，模拟中太阳质量仅为地球的 1 倍）
+ - 轨道半径未按真实比例缩放（真实日地距是地月距的 389 倍，模拟中仅为 4 倍）
+ - 未考虑月球轨道倾角（真实地月轨道有约 5° 的倾角）
+ - leapfrog 算法为能量守恒的辛积分器，长期稳定，但步长过大时仍可能偏离真实轨道
+
+
+