docs: case04 新增 Readme.html 含 MathJax 公式
涵盖天体质量/轨道参数/偏心率/开普勒定律/近日点速度 公式等全部天体力学内容，使用 MathJax 3 (SVG) 渲染。
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<title>case04 — 日地月三体系统</title>
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</style>
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</head>
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<body>
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<div class="container">
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<h1>case04 — 日地月三体系统 <small>稳定轨道版本</small></h1>
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<p class="subtitle">太阳、地球、月球三体系统，采用真实比例的质量和万有引力模拟，地球和月球维持稳定椭圆轨道。</p>
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<div class="card" style="display:flex; flex-wrap:wrap; gap:8px; align-items:center; margin-bottom:20px;">
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<span class="tag tag-python">Python 引擎</span>
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||||
<span class="tag tag-gravity">万有引力</span>
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||||
<span style="color:var(--text-dim); font-size:0.85rem; margin-left:8px;">3 粒子 | leapfrog 算法 | 稳定轨道</span>
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</div>
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<h2>一、物理系统概览</h2>
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<div class="card">
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<p>本案例模拟真实的日-地-月三体系统：</p>
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<ul>
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<li><strong>太阳</strong>：位于原点，质量为 $M_\odot$，固定不动（fix_x=fix_y=fix_z=1）</li>
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<li><strong>地球</strong>：绕太阳公转，质量为 $M_\oplus$，近日点出发</li>
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<li><strong>月球</strong>：绕地球公转（同时跟随地球绕太阳），质量为 $M_\text{moon}$</li>
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</ul>
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<p>原子间万有引力由 <code>gravity_strength</code> 缩放控制，$F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$。</p>
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</div>
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<h2>二、天体真实参数</h2>
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<h3>2.1 质量</h3>
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<table>
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<tr><th>天体</th><th>质量 / kg</th><th>与地球质量之比</th></tr>
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<tr><td>太阳</td><td>$1.989 \times 10^{30}$</td><td>$333\,000$</td></tr>
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||||
<tr><td>地球</td><td>$5.972 \times 10^{24}$</td><td>$1$</td></tr>
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<tr><td>月球</td><td>$7.35 \times 10^{22}$</td><td>$0.0123 \;(1/81.3)$</td></tr>
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</table>
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<div class="highlight">
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<strong>质量比</strong>：$M_\odot : M_\oplus : M_\text{moon} \approx 27\,100\,000 : 81.3 : 1$
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</div>
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<h3>2.2 轨道参数</h3>
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<table>
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<tr><th>轨道</th><th>半长轴 $a$</th><th>偏心率 $e$</th><th>半短轴 $b$</th><th>周期</th></tr>
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<tr><td>地球绕太阳</td><td>$1.4960 \times 10^8$ km (1 AU)</td><td>$0.0167$</td><td>$1.4958 \times 10^8$ km</td><td>365.25 天</td></tr>
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||||
<tr><td>月球绕地球</td><td>$3.844 \times 10^5$ km</td><td>$0.0549$</td><td>$3.838 \times 10^5$ km</td><td>27.32 天</td></tr>
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</table>
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<div class="highlight">
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<strong>比例</strong>：$R_{\text{日地}} : R_{\text{地月}} \approx 389 : 1$<br>
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地月距离约为日地距离的 $1/389$。
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</div>
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<h2>三、轨道力学</h2>
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<h3>3.1 偏心率定义</h3>
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<div class="highlight-eq">
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<p>偏心率 $e$ 描述椭圆轨道偏离正圆的程度：</p>
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<div class="formula-block">
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$$e = \frac{c}{a}$$
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</div>
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<p>其中 $c = ea$ 为偏心距（焦点到椭圆中心的距离），$a$ 为半长轴。</p>
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</div>
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<table>
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<tr><th>$e$ 值</th><th>轨道形状</th><th>说明</th></tr>
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<tr><td>$e = 0$</td><td>正圆形</td><td>速度恒定，距离恒定</td></tr>
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<tr><td>$0 < e < 1$</td><td>椭圆</td><td>近日点速度最大，远日点速度最小</td></tr>
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<tr><td>$e = 1$</td><td>抛物线</td><td>逃逸轨道，速度恰好达到逃逸速度</td></tr>
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<tr><td>$e > 1$</td><td>双曲线</td><td>飞越轨道，速度超过逃逸速度</td></tr>
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</table>
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<h3>3.2 半长轴与半短轴的关系</h3>
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<div class="highlight-eq">
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<div class="formula-block">
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$$b = a\sqrt{1 - e^2}$$
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</div>
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<p>当 $e \ll 1$ 时，$b \approx a\left(1 - \dfrac{e^2}{2}\right)$，椭圆度非常微小。</p>
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</div>
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<h3>3.3 近日点与远日点</h3>
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<div class="highlight-eq">
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<p>近日点（距太阳最近）和远日点（距太阳最远）的距离分别为：</p>
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<div class="formula-block">
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$$r_{\text{peri}} = a(1 - e), \qquad r_{\text{ap}} = a(1 + e)$$
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</div>
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<p>在近日点轨道速度最大，在远日点轨道速度最小：</p>
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<div class="formula-block">
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$$v_{\text{peri}} = \sqrt{\frac{GM(1+e)}{a(1-e)}}, \qquad
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v_{\text{ap}} = \sqrt{\frac{GM(1-e)}{a(1+e)}}$$
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</div>
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</div>
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<h3>3.4 开普勒三大定律</h3>
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<ol>
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<li><strong>椭圆定律</strong>：行星轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。</li>
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<li><strong>面积定律</strong>：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。</li>
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<li><strong>周期定律</strong>：公转周期的平方与半长轴的立方成正比：$T^2 \propto a^3$。</li>
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</ol>
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<div class="highlight">
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<strong>验证</strong>：在本模拟中，你可以通过轨迹图观察面积定律是否成立——地球在近日点移动更快，远日点移动更慢。
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</div>
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<h2>四、模拟参数</h2>
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<h3>4.1 缩放说明</h3>
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<p>真实尺度无法直接用于模拟（日地距离 1.5 亿 km），因此采用缩放参数。当前 case04 的配置为教学演示而简化：</p>
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<table>
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<tr><th>参数</th><th>值</th><th>说明</th></tr>
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<tr><td><code>gravity_strength</code></td><td>100.0</td><td>万有引力强度（已缩放）</td></tr>
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<tr><td><code>box_a</code></td><td>20.0</td><td>盒子半边长</td></tr>
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<tr><td><code>method</code></td><td>leapfrog</td><td>蛙跳法（辛积分器，能量守恒）</td></tr>
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<tr><td><code>T_total</code></td><td>10.0 s</td><td>总模拟时间</td></tr>
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<tr><td><code>NSTEP</code></td><td>2</td><td>抽帧间隔（密采帧）</td></tr>
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</table>
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<h3>4.2 初始构型</h3>
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<table>
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<tr><th>天体</th><th>质量</th><th>位置 $(x,y,z)$</th><th>速度 $(v_x,v_y,v_z)$</th><th>固定约束</th></tr>
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<tr><td>太阳</td><td>1</td><td>$(0,0,0)$</td><td>$(0,0,0)$</td><td>全部固定</td></tr>
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||||
<tr><td>地球</td><td>1</td><td>$(4,0,0)$</td><td>$(0,0,4)$</td><td>无</td></tr>
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<tr><td>月球</td><td>0.1</td><td>$(5,0,0)$</td><td>$(0,0,6)$</td><td>无</td></tr>
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</table>
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<p>地球在 $z$ 方向获得初速度，产生绕太阳的轨道运动；月球在地球基础上获得额外的 $z$ 方向速度，形成绕地球的轨道。</p>
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<h2>五、使用方法</h2>
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<div class="card">
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<code style="display:block; padding:14px 18px; margin-bottom:10px;">
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# 进入 case04 目录并运行<br>
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cd examples/case04<br>
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python run_dynamics.py<br><br>
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# 仅输出轨迹图，跳过动画<br>
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python run_dynamics.py --no-plot
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</code>
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<p>配置文件：<code>input/input.txt</code>（物理参数）、<code>input/coord.txt</code>（初始位置/速度）。</p>
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</div>
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<h2>六、与 case03 的对比</h2>
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<table>
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<tr><th></th><th>case03（失败案例）</th><th>case04（成功案例）</th></tr>
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<tr><td>轨道状态</td><td>轨道发散或碰撞</td><td>稳定椭圆轨道</td></tr>
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<tr><td>关键差异</td><td>初始速度或质量比不恰当</td><td>合理的初值和参数</td></tr>
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||||
<tr><td>教学意义</td><td>展示参数选择的重要性</td><td>展示正确的三体运动</td></tr>
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</table>
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<div class="highlight">
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<strong>教学建议</strong>：先运行 case03 观察失稳，再运行 case04 对比稳定轨道，理解初始条件对数值模拟的关键影响。
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</div>
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<h2>七、已知局限</h2>
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<ul>
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<li>缩放后的质量比与真实太阳系有较大差距（真实太阳比地球重 33 万倍，模拟中太阳质量仅为地球的 1 倍）</li>
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<li>轨道半径未按真实比例缩放（真实日地距是地月距的 389 倍，模拟中仅为 4 倍）</li>
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||||
<li>未考虑月球轨道倾角（真实地月轨道有约 5° 的倾角）</li>
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||||
<li>leapfrog 算法为能量守恒的辛积分器，长期稳定，但步长过大时仍可能偏离真实轨道</li>
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</ul>
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||||
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</div>
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</body>
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</html>
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